원주율을 구하는 과정

고대 이집트와 바빌로니아, 인도, 그리고 그리스의 철학자들은 원의 둘레와 지름의 비율이, 원의 크기에 관계없이 둘레는 지름의 3배보다 약간 큰 값이 되는 것을 알고 있었습니다. 그리고 그 둘레와 지름의 비율인 원주율의 올바른 수치를 찾는 데 많은 시간을 들였습니다. 원주율은 임의의 크기의 원의 둘레를 그 직경으로 나눈 값 입니다. 원주율은 기호 π로 나타냅니다. π는 그리스 문자로 주변, 원주, 둘레 등을 의미하는 περίμετρος, 혹은 περιφέρεια에서 유래하였습니다. 또, 원주율은 정수의 비로 표현할 수 없는 무리수로 순환하지 않는 무한 소수로, π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 ..., 현대의 우리는 이미 계산되어진 부분까지의 답을 알 수 있습니다. 다시 고대로 돌아가서 직경 d의 원의 둘레를 c로하면, c = πd 로 표현할 수 있습니다. 여기서 둘레 c와 같은 길이의 직선과 직경 d와 같은 길이의 직선을 비교하면 c가 d보다 약간 긴 것을 알 수 있습니다. 이는 끈과 같은 물건으로 원을 만든 후 그 직경을 측정하여, 두 길이를 비교하면 쉽게 알 수 있습니다. 여기서 둘레는 직경의(3+α)배인 것을 알 수 있고, α를 실측해 보면 약 0.14d인 것을 알 수 있습니다. 여기서 알 수 있듯이, 평소에는 목적에 따라 원주율을 3으로 근사하는 것은 상당히 합리적이라고 생각합니다. 그리고 그럴 경우에는 대략적으로 어느 정도의 어긋남이 생기는지를 가늠할 수 있어야 하며, 그렇지 못할 경우에는 '목적에 따라'를 잃게 되어 버립니다. 예를 들어, 직경 d의 둘레를 3d로 근사한다고 가정합니다. 실제 원주는 약 3.14d이지만, 3d는 그림과 같이 직경 d의 원에 내접하는 정육각형의 둘레의 길이와 같습니다( d/2 × 6 = 3d ). 3d는 직경 d의 원주의 ​​근사치이며, 그림으로부터 원주는 3d보다 큰 것을 알 수 있습니다. 한층 더 이 원에 외접하는 정사각형을 생각해 봅시다. 이 사각형의 둘레 길이는 4d이므로 원주는 4d보다 작음을 알 수 있습니다. 즉, 3d < 둘레의 길이 < 4d 입니다. 이어서 이 원에 외접하는 육각형에 대해 생각해 봅시다. 직각 삼각형을 고려하면 한 변의 길이는 d/(2√3)×2 로 d/√3가 됩니다. 따라서 이 육각형 둘레의 길이는 6d / √3에서 약 3.46d입니다. 즉, 3d < 둘레의 길이 < 3.46d가 됩니다. 원주를 보다 정확하게 구하기 위해서는, 정다각형의 각수를 늘려야 합니다. 반경 d의 원에 내접 및 외접하는 정십이각형을 생각해봅시다. 육각형의 경우와 마찬가지로 각 둘레의 길이를 구하면, 3.11 d < 둘레의 길이 < 3.22d 입니다. 계속해서 한층 더 정다각형의 각수를 늘려 가면, 정이십사각형 3.1326d < 둘레의 길이 < 3.1597d, 정사십팔각형 3.1393d < 둘레의 길이 < 3.1461d, 906각형 3.1408d < 둘레의 길이 < 3.1428d, 정500 각형 3.1415d < 둘레의 길이 < 3.1416d가 되어, 점점 실제 원주율인 3.141592654…d 에 접근해 갑니다. 직경 d가 1인 경우는 원주가 원주율과 같은 크기가 됩니다. 즉, 길이 1의 직선을 직경하는 원을 그린 경우, 그 둘레의 길이가 원주율이 된다는 것 입니다. 원주율은 이런 방식으로 계산된 것입니다. 고대 그리스의 아르키메데스는 정96각형을 사용하여 원주율을 구했다고 합니다.