√2가 과학의 문을 열다

이단시된 데모크리토스의 원자론

세상의 모든 것이 원자와 원자의 결합으로 이루어진다는 원자론을 주창한 데모크리토스는 유물론자이자 기계론자이기도 했습니다. 데모크리스토스는 이 세상에 존재하는 물건이나 사상 등은 모두 필연적인 결과로 생긴 것이며, 그것은 인간의 사고와 행동에까지 영향을 미치는 것으로 생각했습니다. 인간의 육체는 원자로 이루어지기 때문에, 인간의 사고나 행동이 미래에서 어떻게 될지는 미리 정해져 있어, 그대로 이루어진다고 생각한 것입니다. 결과적으로 이러한 기계론적 사상은 원자론의 유포를 방해하는 역할을 하였습니다. 결국 그 후의 고대 그리스 철학은 플라톤과 아리스토텔레스의 인간주의적 사상이 주류가 되었습니다. 데모크리토스의 원자론은 사장되었고, 대신 사원소설(四元素說)이 퍼졌습니다.

만물의 근원을 수로 생각한 피타고라스　

데모크리토스는 피타고라스를 숭배하고 피타고라스 학파의 사상을 이어받은 것으로 알려져 있습니다. 일반적으로 피타고라스는 수학자로 알려져 있지만, 동시에 당시 신흥종교라고 할 수 있는 피타고라스 교단의 개조였습니다. 이 교단은 영혼은 불멸이고, 저 세상으로 여행한 영혼은 이 세상으로 다시 태어난다는 윤회 전생의 생각을 가지고 있었습니다. 그리고 우주는 엄격한 법칙으로 성립하고 있다고 생각하고, 윤회전생으로부터 해탈하고 영혼을 육체의 지배로부터 해방하기 위해서는, 그 법칙을 깊이 이해할 필요가 있다고 생각했습니다. 이윽고 피타고라스 학파의 철학자들은 천문학과 음악에서 우주의 법칙을 생각하게 되었습니다. 예를 들어, 천문학에서는 달과 별자리의 움직임에는 일정한 법칙이 있다고 생각했습니다. 음악 분야에서는 하나의 현을 연주했을 때 울리는 소리에서 규칙성을 발견하고 있습니다. 도의 소리가 울리는 현의 1/2을 누르고 연주하면 1옥타브 높은 도드가 울리고, 2/3을 연주하면 솔이 울리고, 3/4를 연주하면 파가 됩니다. 현이 아름다운 소리를 연주하는 것은 수의 비율이 관련되어 있는 것임에 틀림없다고 생각했습니다. 이러한 결과를 바탕으로 그들은 세상이 수의 비율로 질서있고 아름답게 조화를 이루고 있다고 생각했습니다. 그리고 수의 비율의 관계를 당시 신성한 수로 여겨졌던 10과 연관시켜 테트락티스(Tetractys)라는 구조로로 나타냈습니다. 테트락티스는 정점이 1개, 2열째가 2개, 3열째가 3개, 4열째가 4개의 점으로 이루어진 도형입니다. 간단한 정수 비율로 아름다운 정삼각형을 만들 수 있음을 보여줍니다. 그리고 이 조화를 하르모니아라고 부르며, 우주의 본질은 수의 비율이고, 모든 것은 수로 대체될 수 있다고 생각해, `만물의 근원은 수이다`라고 결론지었습니다.

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모든 것이 숫자의 비율로 표현 될 수 있을까

피타고라스 학파의 철학자들은 하르모니아가 수의 비율에서 온다면, 이 세상에 존재하는 것은 더 이상 분할할 수 없는 최소 단위로 구성된다고 생각했습니다. 그리고 이 생각을 공간이나 시간에도 적용하고, 그것들도 최소 단위로 이루어진다고 생각했습니다. 그들은 세계가 수와 수의 비율로 표현할 수 있는 아름다운 것이라고 생각했습니다. 그런데 피타고라스의 제자인 히파소스는 '피타고라스의 정리'에 대해 생각하다가, 수와 수의 비로 표현할 수 없는 수가 있는 것을 발견했습니다. 그는 제곱을 하면 2가 되는 숫자를 숫자의 비율로 나타내려고 했는데, 그것이 절대로 불가능하다는 것을 깨달았습니다. 히파소스는 이것을 피타고라스에게 말했지만, 피타고라스는 히파소스의 발견이 자신의 교단의 신념을 무너트리는 것이라는 것을 즉시 이해하고, 그에게 결코 발설해서는 안된다고 명령했다고 합니다. 진위야 어쨌든, 이 발견을 완전히 묻어버리기 위해 히파소스를 죽였다는 설도 있기 때문에, 피타고라스가 이 발견에 경악하고, 상당히 경계한 것만은 틀림없는 것 같습니다. 히파소스가 발견한 수와 수의 비율로 표현할 수 없는 수는 √2 입니다만, √2 그 자체를 그가 발견한 것은 아닙니다. 기원전 2천년의 메소포타미아에서 번성한 바빌로니아의 유적에서 발굴된 석판에는 그 근사치가 60진법으로 기술되어 있습니다. 또한 고대 사람들은 로프를 사용하여 그림과 같은 순서로 제곱근을 그릴 수 있었다고 생각됩니다.

실수가 과학의 문을 열었다

수에는 분수로 표현할 수 있는 유리수와 분수로 표현할 수 없는 무리수가 있습니다. 히파소스가 '세계에서 처음 발견한 수'란 바로 무리수를 이야기 합니다. 유리수는 1/2, 3/4 등 분수로 ​​나타낼 수 있습니다. 2/3은 나누어지지 않고 0.6666…하고 6이 무한하게 계속되는 소수입니다만, 정수의 비로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다. 2/7은 0.285714285714…하고 285714가 반복 계속되지만, 이것도 정수의 비율로 표현할 수 있으므로 유리수입니다. 한편, 무리수는 분수로 표현할 수 없는 수 입니다. 그 예로는 √2나 √3, 원주율 π나 자연로그의 밑 e 등이 있습니다. 이 숫자들은 반복 패턴이 없으며 무한대로 오는 소수입니다.

　　√2 = 1.41421356237309504880･･･
　　√3 = 1.73205080756887729352･･･
　　π  = 3.14159265358979323846･･･

　　e  = 2.71828182845904523536･･･

히파소스가 무리수를 발견했을 때, 철학자들은 혼란스러워 했습니다. 그러나 그들은 결국 혼란에서 벗어나 유리수와 무리수를 합한 실수라는 개념을 만들었습니다. 실수의 개념은 수학을 발전시키고, 또 과학의 발전에도 영향을 주었습니다. 수학을 사용하면 물체의 운동 등 많은 현상을 숫자로 나타낼 수 있습니다. 또한 수학을 통해 새로운 발견을 하기도 합니다. 예를 들어, 맥스웰은 전자파가 발견되기 20년 전에 이미 수학을 통해 전자파의 존재를 예측하였습니다. 아인슈타인도 수학을 통해서 상대성 이론을 도출했습니다. 그리고 현재의 과학자들은 소립자의 세계를 수학을 통해 접근하려고 하고 있습니다.